二维环面上具有粗糙势的 Schrödinger 方程的控制

对于环面上的 Schrödinger 方程 $(i \partial_t + \Delta) u = 0$，任意非空开集 $\Omega$ 均可提供解的控制与可观测性：$\| u |_{t = 0} \|_{L^2 (\T^2)} \leq K_T \| u \|_{L^2 ([0,T] \times \Omega)}$。我们证明了对于 $(i \partial_t + \Delta - V) u = 0$，其中 $V \in L^2 (\T^2)$，且 $\T^2$ 为（有理或无理）环面，同样的结果依然成立。这扩展了 \cite{AM} 和 \cite{BZ4} 的结果，后者证明了 $V \in C (\T^2)$ 时的可观测性，并猜想 $V \in L^\infty (\T^2)$ 时亦成立。对于 $V \in L^\infty (\T^n)$ 的高维推广问题仍有待解决。