各向异性 Shubin 算子与 Gelfand-Shilov 空间中的特征函数展开

我们推导了关于 Gelfand-Shilov 空间 $\mathcal{S}^\mu_\nu (\R^n)$（$\mu,\nu >0$，$\mu+\nu \geq 1$）的新刻画结果，通过 $(m,k)$ 各向异性全局椭圆 Shubin（或 $\Gamma$）型算子（以 $(-\Delta)^{m/2} +| x |^k$，$m,k\in 2\N$ 为模型算子）迭代的 $L^2$ 范数的 Gevrey 估计，以及相关特征函数展开中傅里叶系数的衰减。对于空间 $\Sigma^\mu_\nu (\R^n)$（$\mu,\nu >0$，$\mu+\nu > 1$，参见 \eqref{GSdef}）也得到了类似结果。与对称情形 $\mu = \nu$ 和 $k=m$（经典 Shubin 算子）不同，我们遇到了涉及比值 $\kappa:=\mu/\nu$ 的共振型现象；即我们在 $\mu=kt/(k+m), \nu= mt/(k+m), t \geq 1$ 的情形下，也就是当 $\kappa=k/m \in \Q$ 时，得到了 $\mathcal{S}^\mu_\nu(\R^n)$ 和 $\Sigma^\mu_\nu(\R^n)$ 的刻画。