有限维简单 graded 代数中的 graded embedding

设 $\mathbb{F}$ 为一个域，$\mathsf{G}$ 为一个群。本工作灵感来自以下问题：“给定除（简单）$\mathsf{G}$-graded $\mathbb{F}$-代数，是否存在另一个除（简单）$\mathsf{G}$-graded $\mathbb{F}$-代数使前者可被 $\mathsf{G}$-嵌入？”。在本工作中，我们对于 $\mathbb{F}$ 为代数闭域、$\mathsf{G}$ 为有限阿贝尔群且代数为有限维时，肯定回答了这个问题。为证明这一点，我们应用群上 cohomology 的概念和性质。我们展示 $\mathcal{H}^2(H, \mathbb{F}^*)=\mathsf{res}^\mathsf{G}_H \left(\mathcal{H}^2(\mathsf{G}, \mathbb{F}^*)\right)$，其中 $H$ 是 $\mathsf{G}$ 的一个子群，$\mathsf{res}^\mathsf{G}_H$ 为限制同态。随后，我们证明给定任意 $H_1,H_2\leq\mathsf{G}$ 且 $\sigma_i\in\mathcal{Z}^2(H_i,\mathbb{F}^*)$，$i=1,2$，下面的等价条件成立：i) $\mathbb{F}^{\sigma_1}[H_1] \stackrel{\mathsf{G}}{\hookrightarrow} \mathbb{F}^{\sigma_2}[H_2]$；ii) $H_1\leq H_2$ 且 $[\sigma_1]=[\sigma_2]_{H_1}$；iii) $\mathsf{T}^{\mathsf{G}}(\mathbb{F}^{\sigma_2}[H_2])\subseteq \mathsf{T}^{\mathsf{G}}(\mathbb{F}^{\sigma_1}[H_1])$，其中 $\mathsf{T}^{\mathsf{G}}(\mathbb{F}^{\sigma_i}[H_i])$ 为 $\mathbb{F}^{\sigma_i}[H_i]$ 的 $\mathsf{G}$恒等式的 $\mathsf{G}$理想。进一步地，我们证明给定 $\mathfrak{A}$ 和 $\mathfrak{B}$ 为两个有限维简单 $\mathsf{G}$-graded $\mathbb{F}$-代数，若 $\mathbb{F}$ 为代数闭域、$\mathsf{char}(\mathbb{F}) = 0$ 或 $\mathsf{char} (\mathbb{F})$ 与 $\mathsf{G}$ 的每个有限子群的阶互质，且 $\mathsf{G}$ 的任意子群均为正规子群，则 $\mathsf{T}^{\mathsf{G}}(\mathfrak{A})\subseteq \mathsf{T}^{\mathsf{G}}(\mathfrak{B})$ 当且仅当 $\mathfrak{B} \stackrel{\mathsf{G}}{\hookrightarrow} \mathfrak{A}$。