L1([0,1]2) 类函数关于两种不同矩形基的微分性质
经典分析与常微分方程
2021-05-11 v1
摘要
Saks（1934）的一个著名结果是：存在函数 f ∈ L1(ℝ2)，使得对几乎处处的 (x,y)∈ℝ2，\lim_{\substack{\mathrm{diam} R\rightarrow 0, \\ (x,y) \in R \in \mathcal{R}}}\left|\frac{1}{|R|}\int_R f(x,y)\, dxdy\right|=\infty，其中 𝓡={[a,b)×[c,d)∶a<b, c<d}。在本注记中，我们探讨以下问题：假设有两个不同矩形族；在何种条件下存在函数 f ∈ L1(ℝ2)，使其积分平均关于一个矩形族发散而关于另一个收敛？更具体地，令 𝒟, 𝒞 ⊂ (0,1]，并考虑边长分别属于 𝒟 和 𝒞 的矩形。我们证明若集合 𝒟 与 𝒞 彼此足够“远离”，则可构造这样的函数。我们还证明在正函数类中，该条件对此类函数存在也是必要的。
引用
@article{arxiv.2105.04179,
title = {Differentiation properties of class ${L}^1([0,1]^2)$ with respect to two different basis of rectangles},
author = {Michihiro Hirayama and Davit Karagulyan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2105.04179},
year = {2021}
}