奇异积分的基础方面

我们研究定义在$(0,1]$上的实值连续函数类的积分。当然，若该类中包含非$L^1$元素且 Hadamard 有限部分积分（{\em p.f.}）不适用时，困难便会出现。此类奇异积分自然出现在许多语境中，包括偏微分方程 (PDEs) 和奇异常微分方程 (ODEs)。从零开始的 Lebesgue 积分以及$p.f.$积分遵循两个基本条件：(i) 它们充当原函数；(ii) 若在$(0,a)$上$f =g$，则它们从$0$到$x$的积分对任意$x\in (0,a)$均重合。我们发现，凭借选择公理 (AC)，对于所有在任意$\epsilon>0$下属于$L^1((\epsilon,1])$的$(0,1]$上的函数，存在具有$p.f.$本质属性及正性的从零开始的积分。然而，这一存在性证明并未提供令人满意的构造。若在$0$处缺乏某种正则性，那么在包含非$L^1$元素的函数类上，仅满足上述 (i) 和 (ii) 的一般原函数的存在性独立于 ZF（不含 AC 的通常 ZFC 数学公理），甚至独立于 ZFDC（带有依赖选择公理的 ZF）。此外，我们证明不存在任何数学描述能够被证明（在 ZFC 内，甚至在带有大基数假设的 ZFC 扩展中）唯一地定义此类原函数算子。这些结果针对多种函数集进行了精确表述，并利用数理逻辑、描述集合论和分析学的方法予以证明。我们还分析了穿孔单位圆盘上解析函数的$p.f.$，并建立了其与奇异初值问题的联系。