次可微函数满足 $C^1$ 或 $C^2$ 类的 Lusin 性质

设 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 为一个函数。假设对于可测集 $\Omega$ 及几乎所有的 $x\in\Omega$，存在一个向量 $\xi_x\in\mathbb{R}^n$ 使得 $$\liminf_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)-\langle \xi_x, h\rangle}{|h|^2}>-\infty.$$ 然后我们证明 $f$ 在 $\Omega$ 中满足二阶 Lusin 型性质，也就是说，对于每个 $\varepsilon>0$，存在一个函数 $g\in C^2(\mathbb{R}^n)$ 使得 $\mathcal{L}^{n}\left(\{x\in\Omega : f(x)\neq g(x)\}\right)\leq\varepsilon$。特别地，任何几乎处处具有非空近端次微分的函数也具有 $C^2$ 类的 Lusin 性质。对于 Fréchet 次微分，我们也获得了类似的结果（将 $C^2$ 替换为 $C^1$）。最后，我们提供了一些例子，表明这类结果对于更高阶的“泰勒次展开”不再成立。