$C^2$ 函数边界值的有限性原理

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的一个域，设 $N=3\cdot 2^{n-1}$。我们证明了 $C^2(\Omega)$ 空间的迹（trace）到 $\Omega$ 边界具有以下有限性质：函数 $f:\partial\Omega\to \mathbb{R}$ 是 $\Omega$ 上函数 $F\in C^2(\Omega)$ 的边界迹，当且仅当存在常数 $\lambda>0$，使得对于每一个由至多 $N$ 个点组成的子集 $E\subset\partial\Omega$，都存在函数 $F_E\in C^2(\Omega)$，其范数满足 $\|F_E\|_{C^2(\Omega)}\le\lambda$，且其边界迹在 $E$ 上与 $f$ 一致。我们还证明了该有限性原理的一个细化，表明在该判据中我们仅可以使用具有特定几何“可见性”特性的 $N$ 点子集 $E\subset\partial\Omega$。