一种基于距离函数的新对称性判据及其在偏微分方程中的应用

我们证明，如果 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 是一个 $C^2$ 类的有界星形开区域，那么函数 $$\varphi(y) = \int_0^{\lambda(y)} \prod_{j=1}^{n-1}[1-t \kappa_j(y)]\, dt$$ 在 $\partial \Omega$ 上的恒定性意味着 $\Omega$ 是一个球体。这里 $k_j(y)$ 和 $\lambda(y)$ 分别表示边界点 $y \in \partial \Omega$ 的主曲率和截断值。我们将这一几何结果应用于偏微分方程的不同对称性问题：一类 Monge-Kantorovich 型方程的超定系统（可视为 $p$-Laplacian 的 Serrin 对称性问题在 $p \to + \infty$ 时的极限），以及其解在定义域某子集中仅依赖于距边界距离的散度型方程。