Kirchhoff-Routh 路径型函数的 Morse 性质

对于有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$，设 $H_\Omega:\Omega\times\Omega\to\mathbb{R}$ 为 Laplace 算子的 Dirichlet Green 函数的正则部分。给定定义在开子集 ${\mathcal D}\subset\mathbb{R}^{nN}$ 上的任意固定 ${\mathcal C}^2$ 函数 $f:{\mathcal D}\to\mathbb{R}$，以及固定的系数 $\lambda_1,\dots,\lambda_N\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$，我们考虑函数 $f_\Omega:{\mathcal D}\cap\Omega^N\to\mathbb{R}$，其定义为 $$f_\Omega(x_1,\dots,x_N) = f(x_1,\dots,x_N) - \sum_{j,k=1}^N \lambda_j\lambda_k H_\Omega(x_j,x_k).$$ 我们证明了对于大多数 ${\mathcal C}^{m+2,\alpha}$ 类区域 $\Omega$（其中任意 $m\ge0$，$0<\alpha<1$），$f_\Omega$ 是一个 Morse 函数。这一结论特别适用于 Robin 函数 $h:\Omega\to\mathbb{R}$，$h(x)=H_\Omega(x,x)$，以及 Kirchhoff-Routh 路径函数，其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$，{\mathcal D}=\{x\in\mathbb{R}^{2N}: \text{当 j\ne k$时$x_j\ne x_k}\}，且 $$f(x_1,\dots,x_N) = - \frac{1}{2\pi}\sum_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j,k=1}{j\ne k}}^N\lambda_j\lambda_k\log|x_j-x_k|.$$