散度形式椭圆算子 Green 函数的展开与 Robin 函数的正则性

我们考虑散度形式椭圆算子 $\mathcal{L}_K=-\text{div}(K(x)\nabla )$ 在具有零 Dirichlet 边界条件的有界光滑区域 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n (n\geq 2)$ 上的 Green 函数 $G_K$，其中 $K$ 是 $\Omega$ 上的光滑正定矩阵值函数。我们得到了 $G_K(x, y)$ 的高阶渐近展开，该展开唯一确定了一个正则部分 $H_K(x, y)$。此外，我们证明了相关的 Robin 函数 $R_K(x) = H_K(x, x)$ 在 $\Omega$ 内是光滑的，尽管正则部分 $H_K$ 通常不属于 $C^1(\Omega\times\Omega)$。