$e^{1/n}$ 的超越测度

对于给定的超越数 $\xi$ 以及任意多项式 $P(X)=: \lambda_0+\cdots+\lambda_k X^k \in \mathbb{Z}[X]$，我们知道 $P(\xi) \neq 0.$ 令 $k \geq 1$，$\omega (k, H)$ 为满足如下估计 $$\left|\lambda_0+\lambda_1 \xi+\lambda_2 \xi^{2}+ \ldots +\lambda_k\xi^{k}\right| > \frac{1}{H^r},$$ 对所有 $(\lambda_0, \ldots ,\lambda_k)^T \in \mathbb{Z}^{k+1}\setminus\{\overline{0}\}$ 且 $\max_{1\le i\le k} \{|\lambda_i|\} \le H$ 成立的那些数 $r > 0$ 的下确界。任何大于等于 $\omega (k, H)$ 的函数都是 $\xi$ 的{\it 超越测度}。在本文中，我们给出了 $e^{1/n}$ 的一个超越测度，改进了 Mahler(\cite{Mahler}) 于 1975 年证明的结果。