关于用有界次数代数数逼近实数

在其 1961 年的开创性论文中，Wirsing 针对给定的正整数 $n$，利用 $\alpha$ 的所谓朴素高度 $H(\alpha)$，研究了一个给定的超越实数 $\xi$ 能被次数至多为 $n$ 的代数数 $\alpha$ 逼近到何种程度。他证明了，使得无穷多个这样的 $\alpha$ 满足 $|\xi-\alpha| \le H(\alpha)^{-\omega-1}$ 的所有 $\omega$ 的下确界 $\omega^*_n(\xi)$ 至少为 $(n+1)/2$。他还提出，正如通常所预期的那样，我们是否甚至能有 $\omega^*_n(\xi) \ge n$。从那时起，对 Wirsing 下界的所有改进都具有 $n/2+\mathcal{O}(1)$ 的形式，直到 Badziahin 和 Schleischitz 在 2021 年证明了对于每个 $n\ge 4$，有 $\omega^*_n(\xi) \ge an$，其中 $a=1/\sqrt{3}\simeq 0.577$。在本文中，我们使用一种部分受数的参数几何启发的方法，证明了对于每个 $n\ge 2$，有 $\omega^*_n(\xi) \ge an$，其中 $a=1/(2-\log 2)\simeq 0.765$。