代数数 argument 上指数函数值的新型超越性度量

设 $P\in \mathbb Z[X]\setminus\{0\}$ 的次数为 $\delta\ge 1$，常规高度为 $H\ge 1$，且设 $\alpha\in \overline{\mathbb Q}^*$ 的次数为 $d\ge 2$。马赫于1931年证明了以下关于 $e^\alpha$ 的超越性度量：对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $c>0$ 使得 $\vert P(e^\alpha)\vert>c/H^{\mu(d,\delta)+\varepsilon}$，其中指数 $\mu(d,\delta)=(4d^2-2d)\delta+2d-1$。郑于1991年得到更好的结果，$\mu(d,\delta)=(4d^2-2d)\delta-1$。本文我们给出一个新的显式指数 $\mu(d,\delta)$，它在所有 $\delta\ge 2$ 和所有 $d\ge 2$ 上改进了郑的超越性度量。当 $\delta=1$ 时，我们恢复他在所有 $d\ge 2$ 上的下界，实际上这一结果在1966年已由 Kappe 获得。我们的改进基于对塞格尔经典行列式方法中一个辅助参数的优化，这一方法用于逼近指数函数幂的 Hermite-Padé 逼近器。