Dirichlet特征L函数值的无理性

在最近与Sprang和Zudilin合著的一篇论文中，证明了如下结果：若$a$相对于$\varepsilon>0$足够大，则在$3$与$a$之间的奇数处Riemann zeta函数至少有$2^{(1-\varepsilon)\frac{\log a}{\log \log a}}$个值是无理数。这改进了Ball-Rivoal定理——该定理仅给出$\frac{1-\varepsilon}{1+\log 2} \log a$个这样的无理值，但具有更强的性质：它们在有理数上线性无关。在本文中，我们将这一近期结果推广到Dirichlet特征的$L$-函数以及Hurwitz zeta函数。所用策略不同且较不初等：该构造与一个Pad\'e逼近问题相关，并使用了Shidlovsky引理的一个推广来应用Siegel的线性无关判据。我们还改进了此设定下Ball-Rivoal定理的类似结果：当$f$为Dirichlet特征时，我们得到$\frac{1-\varepsilon}{1+\log 2} \log a$个具有固定奇偶性的线性无关值$L(f,s)$，其中$s\leq a$。此处的新意在于常数$1+\log 2$不依赖于$f$。