无理 zeta 值的分布

本文改进了 Ball-Rivoal 定理，证明了对于任何关于 $\epsilon>0$ 足够大的奇整数 $a$，存在 $[ \frac{(1-\epsilon)\log a}{1+\log 2}]$ 个介于 3 和 $a$ 之间的奇整数 $s$，它们彼此之间的距离至少为 $a^{\epsilon}$，且在这些点上 Riemann zeta 函数取 $\Q$-线性无关的值。由此推论，若使 $\zeta(s)$ 为无理数的整数 $s$ 非常少，则它们分布相当均匀。证明涉及通过鞍点法估计的超几何型级数，以及 Nesterenko 线性无关判定向向量情形的推广。