关于某些 $2$-进 zeta 值的无理性

设 $\zeta_2(\cdot)$ 为 Kubota-Leopoldt $2$-进 zeta 函数。我们证明，对每一非负整数 $s$，在区间 $[s+3,3s+5]$ 中存在奇整数 $j$ 使得 $\zeta_2(j)$ 为无理数。特别地，$\zeta_2(7),\zeta_2(9),\zeta_2(11),\zeta_2(13)$ 中至少有一个为无理数。我们的方法受 Sprang 近期工作的启发。我们构造显式有理函数。这些有理函数的（高阶）导数的 Volkenborn 积分给出了 $1$ 与 $2$-进 Hurwitz zeta 值的良好线性组合。最困难的步骤是证明某些 Volkenborn 积分非零，这通过仔细处理二项式系数得以解决。