关于某些 $p$-adic zeta 值的无理性

Zudilin 的一个著名定理指出，Riemann zeta 值 $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ 中至少有一个是无理数。在本文中，我们建立了 Zudilin 定理的 $p$-adic 类似物。作为我们结果的一种较弱形式，证明了对于任意素数 $p \geqslant 5$，在区间 $[3,p+p/\log p+5]$ 内存在一个奇整数 $i$，使得 $p$-adic zeta 值 $\zeta_p(i)$ 是无理数。