Riemann zeta 函数分布的偏差界及其应用

我们研究了 Riemann zeta 函数在直线 $\Re(s)=\sigma$ 上的分布。对于 $\tfrac 12 < \sigma \le 1$，我们获得了 $\zeta(s)$ 分布与其随机模型分布之间偏差的上界，改进了 Harman 和 Matsumoto 的结果。此外，我们考察了临界带内 $\zeta(s)$ 极值的分布，加强了第一作者先前的结果。作为这些结果的应用，我们获得了 strip $\tfrac12 < \sigma_1 < \sigma_2 < 1$ 中方程 $\zeta(s) = a$ 解的个数的首个有效误差项。此前在 strip $\tfrac 12 < \sigma < 1$ 中，由于 Borchsenius 和 Jessen (1948) 的结果仅存在渐近估计，而有效估计仅在半直线左侧稍许位置（基于 Riemann 假设，归功于 Selberg）和绝对收敛横坐标右侧（归功于 Matsumoto）已知。总体而言，我们的结果改进了经典的 Bohr-Jessen 框架，也适用于计数 Epstein zeta 函数的零点。