模群子群的计数统计

我们对模群 $\textsf{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的有限生成子群进行计数。更确切地说：每个这样的子群 $H$ 可由其Stallings图 $\Gamma(H)$ 表示，我们将 $\Gamma(H)$ 的顶点数视为 $H$ 的大小，并计数大小为 $n$ 的子群。由于指数为 $n$ 的子群大小为 $n$，我们的结果推广了关于 $\textsf{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 有限指数子群枚举的已知结果。我们给出了 $\textsf{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的有限生成子群数以及有限指数子群数、自由子群数和自由有限指数子群数的渐近等价式。我们还给出了大小为 $n$ 的子群的同构类型的期望值，并证明了关于该值的大偏差陈述。对有限指数子群和自由子群也证明了类似结果。最后，我们展示了如何高效 uniformly 随机生成 $\textsf{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的一个大小为 $n$ 的子群（相应地，有限指数子群、自由子群）。