关于自由群与曲面群的全有限刚性

设 $S$ 为一个自由群或闭双曲曲面的基本群。我们证明，若 $G$ 是一个有限生成剩余-$p$ 群且与 $S$ 具有相同的 pro-$p$ 完备化，则 $G$ 的二生成子群是自由的。这推广了（并给出了）Baumslag 关于拟自由群相应结果的新证明。我们的论证依赖于如下新要素：若 $G$ 为剩余-（无挠幂零）群且 $H\leq G$ 为 virtually polycyclic 子群，则 $H$ 是幂零的且 $G$ 的 pro-$p$ 拓扑在 $H$ 上诱导其完整的 pro-$p$ 拓扑。随后我们研究对全有限刚性的应用。Remeslennikov 猜想，有限生成剩余有限群 $G$ 若其全有限完备化 $\widehat G\cong \widehat S$ 则必有 $G\cong S$。当 $G$ 属于以有限生成剩余自由群为起点的有限交换层次类 $\mathcal{H}_{ab}$ 时我们确认了该猜想。这加强了 Wilton 先前依赖双曲性假设的结果。最后，我们证明群 $S\times {\mathbb Z}^n$ 在有限生成剩余自由群内是全有限刚性的。