具有循环边群的自由群图中的虚拟同调挠元

设 $G$ 为一个双曲群，且可分裂为具有循环边群的自由群图。我们证明，除非 $G$ 同构于自由群与曲面群的自由积，否则每个有限阿贝尔群 $M$ 都会作为某个有限指数子群 $G'\le G$ 的阿贝尔化的直和项出现。作为应用，我们推导出自由群与曲面群的自由积在具有循环边群的双曲自由群图中是射影刚性的。我们还得出结论，自由群中的部分曲面字由它们在有限群上诱导的字测度所决定。