在profinite完备中检测剩余有限群的端

设 $\C$ 为有限群的一个簇。我们使用profinite Bass--Serre理论证明，如果 $u:H\hookrightarrow G$ 是剩余 $\C$ 有限生成群之间的映射，使得诱导映射 $\hat{u}:\hat{H}\rightarrow\hat{G}$ 是pro-$\C$ 完备之间的满射，并且 $G$ 的端数多于一，那么 $H$ 与 $G$ 具有相同的端数。然而，如果 $G$ 只有一个端，则 $H$ 的端数可能更大；我们观察了在 $\C$ 为有限 $p$-群类时发生这种情况的案例。我们构造了一个群的单射 $u:H\hookrightarrow G$，使得：要么 $G$ 是双曲群但不是剩余有限群；要么 $\hat{u}:\hat{H}\rightarrow\hat{G}$ 是profinite完备之间的同构，但 $H$ 具有性质 (T)（从而具有 (FA)），而 $G$ 两者皆不具有。任何一种情况都将提供病态有限生成群的新例子。