自由群对自由群的扩张的投射有限完备化包含一切

给定一个任意、有限表示、剩余有限的群 $\Gamma$，可以构造一个有限生成、剩余有限的自由群对自由群的扩张 $M_\Gamma = F_\infty\rtimes F_4$ 和一个嵌入 $M_\Gamma \hookrightarrow (F_4\ast \Gamma)\times F_4$，该嵌入诱导了投射有限完备化的同构。特别地，存在一个自由群对自由群的扩张，其投射有限完备化包含 $\widehat{\Gamma}$ 作为一个收缩核。