低秩自由群与自由亚阿贝尔群的同余子群问题

对于一个有限生成群 $\Gamma$，同余子群问题询问 $\widehat{Aut\left(\Gamma\right)}\to Aut(\hat{\Gamma})$ 是否是单射，或更一般地，其核 $C\left(\Gamma\right)$ 是什么？这里 $\hat{X}$ 表示 $X$ 的投射有限完备化。在本文中，我们首先给出两个已知结果（对于 $\Gamma=F_{2}$ 和 $\Phi_{2}$）的两个新的简短证明，以及对于 $\Gamma=\Phi_{3}$ 的一个新结果：1. 当 $F_{2}$ 为两个生成元的自由群时，$C\left(F_{2}\right)=\left\{ e\right\}$。2. 当 $\Phi_{n}$ 为 $n$ 个生成元的自由亚阿贝尔群，且 $\hat{F}_{\omega}$ 为 $\aleph_{0}$ 个生成元的自由投射有限群时，$C\left(\Phi_{2}\right)=\hat{F}_{\omega}$。3. $C\left(\Phi_{3}\right)$ 包含 $\hat{F}_{\omega}$。结果 2 和 3 应与第一作者即将得出的一个结果进行对比，该结果表明对于 $n\geq4$，$C\left(\Phi_{n}\right)$ 是阿贝尔群。