生成元数 $n\geq4$ 的自由亚交换群的同余子群问题

对于有限生成群 $\Gamma$，同余子群问题询问映射 $\hat{Aut\left(\Gamma\right)}\to Aut(\hat{\Gamma})$ 是否为单射，或更一般地，其核 $C\left(\Gamma\right)$ 是什么？这里 $\hat{X}$ 表示 $X$ 的 pro-有限完备化。众所周知，对于有限生成自由阿贝尔群，当每个 $n\geq3$ 时 $C\left(\mathbb{Z}^{n}\right)=\left\{ 1\right\}$，但 $C\left(\mathbb{Z}^{2}\right)=\hat{F}_{\omega}$，其中 $\hat{F}_{\omega}$ 是可数生成自由 pro-有限群。考虑 $\Phi_{n}$（$n$ 个生成元的自由亚交换群），也已证明 $C\left(\Phi_{2}\right)=\hat{F}_{\omega}$ 且 $C\left(\Phi_{3}\right)\supseteq\hat{F}_{\omega}$。本文中我们证明对于 $n\geq4$ 的 $C\left(\Phi_{n}\right)$ 是阿贝尔群。因此，尽管阿贝尔情形中的二分法介于 $n=2$ 与 $n\geq3$ 之间，亚交换情形中则介于 $n=2,3$ 与 $n\geq4$ 之间。