同余子群Γ₀(p)与Γ₀(p²)的最优独立生成系
数论
2023-02-10 v3 群论
几何拓扑
摘要
设n为一个素数或其平方。我们证明同余子群Γ₀(n)容许分解为循环因子的自由积，使得每个循环生成元的(2,1)-分量或为n或为0，从而回答了Kulkarni的一个猜想。我们也可要求每个生成元的Frobenius范数小于2n-1。一个关键观察是：若P表示阶为⌊√n⌋的扩展Farey序列在双曲平面ℍ²中的凸包，则投影π: ℍ²→ℍ²/Γ₀(n)在P的内部上是单射，且π(ℍ²)\π(P)的每个连通分支或为面积π/3的三阶锥，或为理想三角形。以m(Γ₀(n))记当Q取遍Γ₀(n)的所有可能特殊（基本）多边形时其尖点集中最大分母的最小值，我们建立不等式⌊√n⌋ ≤ m(Γ₀(n)) ≤ ⌊√(4n/3)⌋，并完全刻画了边界取等的情形。当n为两个充分接近的奇素数之积时，我们也证明了类似结果。
引用
@article{arxiv.2209.13937,
title = {Optimal independent generating system for the congruence subgroups $\Gamma_0(p)$ and $\Gamma_0(p^2)$},
author = {Nhat Minh Doan and Sang-hyun Kim and Mong Lung Lang and Ser Peow Tan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2209.13937},
year = {2023}
}
备注
With some minor revisions, the multiplications of two nearby primes are also considered