关于线性同余生成元与幂生成元的周期
数论
2015-06-26 v2
摘要
我们考虑模 n 的线性同余生成元与幂生成元的周期,并对固定的初始参数选择,给出当 n 遍历三类不同集合——素数集、两个(大小相近)素数之积的集、以及所有整数集——时,对``绝大多数'' n 成立的下界。对于这些集合中的绝大多数 n,周期至少为 n^{1/2+ε(n)},其中 ε(n) 为任一随 n 趋于无穷而趋于零的单调函数。在广义黎曼猜想下,对于这些集合中的绝大多数 n,对任意 ε>0,周期大于 n^{1-ε}。此外,无条件地,对前述集合中正比例的 n,存在某固定 δ>0 使周期大于 n^{1/2+δ}。这些界与整数 e 模 p-1、模 λ(pl)、以及模 λ(m) 的乘法阶的下界相关,其中 p,l 遍历素数,m 遍历整数,而 λ(n) 为 (Z/nZ)^× 中最大循环子群的阶。
引用
@article{arxiv.math/0405120,
title = {On the period of the linear congruential and power generators},
author = {P. Kurlberg and C. Pomerance},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0405120},
year = {2015}
}
备注
20 pages. One of the quoted results (Theorem 23 in the previous version) is stated for any unbounded monotone function psi(x), but it appears that the proof only supports the case when psi(x) is increasing rather slowly. As a workaround, we provide a modified version of Theorem 23, and change the argument in the proof of Theorem 27 (Theorem 25 in the previous version)