迭代 Carmichael λ-函数与幂生成器的圈数

模 $l$ 次幂函数 $f(x) = x^l \pmod n$ 的迭代提供了一种常见的伪随机数生成器（当 $l=2$ 时即已知的 Blum-Blum-Shub 生成器）。该伪随机数生成器的周期与 $\lambda(\lambda(n))$ 密切相关，其中 $\lambda(n)$ 表示 Carmichael 函数，即任意整数模 $n$ 的最大乘法阶。本文中，我们证明对几乎所有 $n$，$\lambda(\lambda(n))$ 的大小为 $n/\exp((1+o(1))(\log\log n)^2 \log\log\log n)$。我们猜想 $\lambda$ 的第 $k$ 次迭代有类似公式。我们推得对几乎所有 $n$，上述伪随机数生成器至少有 $\exp((1+o(1))(\log\log n)^2 \log\log\log n)$ 个不相交的圈。此外，我们在 Kummer 域广义黎曼假设下证明该表达式对几乎所有 $n$ 准确。我们还考虑将整数 $n$ 归约到 1 所需的 $\lambda$ 迭代次数，证明该次数无穷多次小于 $(1+o(1))(\log\log n)/\log 2$，并推测 $\log\log n$ 几乎总是真正的量级。