关于 $\operatorname{FP}_\infty$ 型的射影有限群

假设 $R$ 是一个射影有限环。我们构造了一大类射影有限群 $\widehat{{\scriptstyle\bf L}'{\scriptstyle\bf H}_R}\mathfrak{F}$，其中包括所有可解射影有限群以及在 $R$ 上具有有限上同调维数的射影有限群。我们证明，如果 $G \in \widehat{{\scriptstyle\bf L}'{\scriptstyle\bf H}_R}\mathfrak{F}$ 在 $R$ 上是 $\operatorname{FP}_\infty$ 型的，则存在某个 $n$ 使得 $H_R^n(G,R [[ G ]]) \neq 0$，并由此推断出在 $\mathbb{Z}_p$ 上为 $\operatorname{FP}_\infty$ 型的无挠可解 pro-$p$ 群具有有限秩，从而回答了 Kropholler 猜想中的无挠情形。