由具有大不可约子模的矩阵对生成的不可约线性子群

若有限一般线性群 $\textrm{GL}(d,q)$ 中的一个元素保持不变并在维数大于 $d/2$ 的子空间上不可约地作用，我们称其为\emph{胖的}。胖元素的胖性可通过检验其特征多项式是否具有次数大于 $d/2$ 的不可约因子而在实践中被高效判定。我们证明，对于满足 $\textrm{SL}(d,q) \leq G \leq \textrm{GL}(d,q)$ 的群 $G$，绝大多数来自 $G$ 的胖元素对生成不可约子群，即我们证明在 $G \times G$ 的所有元素对中，生成可约子群的胖元素对之比例小于 $q^{-d+1}$。我们还证明，在给定 $g_1, g_2$ 为胖元素的条件下，于 $G \times G$ 中获得生成可约子群的元素对 $(g_1,g_2)$ 的条件概率小于 $2q^{-d+1}$。进一步，我们表明任意由一对胖元素生成的可约子群在维数大于 $d/2$ 的子空间上不可约地作用，且在诱导作用中该生成对对应于一对胖元素。