关于自同构群与 Chevalley 群 $G_2(p)$ 相关的 $p$-群

设 $p$ 为奇素数。我们构造了一个 $p$-群 $P$，其幂零类为二，秩为七且指数为 $p$，使得 $\mathrm{Aut}(P)$ 在 Frattini 商 $P/\Phi(P)$ 上诱导出 $N_{\mathrm{GL}(7,p)}(G_2(p)) = Z(\mathrm{GL}(7,p)) G_2(p)$。所构造的群 $P$ 是具有这些性质的最小 $p$-群，阶为 $p^{14}$，且当 $p = 3$ 时，我们的构造给出了两个不同构的 $p$-群。为了证明 $P$ 满足指定性质，我们研究了 $G_2(q)$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上八元数代数上的作用（对于 $p$ 的每个幂 $q$），并探讨了每个不可约七维 $\mathbb{F}_q[G_2(q)]$-模的外平方的可约性。