关于阿贝尔簇上的局部-全局整除性

设 $p \geq 2$ 为素数，$k$ 为一个数域。令 $\mathcal{A}$ 为定义在 $k$ 上的阿贝尔簇。我们证明如果 ${\rm Gal} ( k ( {\mathcal{A}}[p] ) / k )$ 包含一个阶整除 $p-1$ 且不固定 ${\mathcal{A}}[p]$ 的任何非平凡元素的元素 $g$，并且 $H^1 ( {\rm Gal} ( k ( {\mathcal{A}}[p] ) / k ), {\mathcal{A}}[p] )$ 是平凡的，那么对于每一个 $n \in \mathbb{N}$，${\mathcal{A}} ( k )$ 的被 $p^n$ 的局部-全局整除性成立。此外，在 ${\mathcal{A}}$ 是主极化阿贝尔簇的特殊情况下，我们在没有关于 $H^1 ( {\rm Gal} ( k ( {\mathcal{A}}[p] ) / k ) , {\mathcal{A}}[p] )$ 平凡性的假设下证明了类似结果。然后，在 ${\mathcal{A}}$ 维数为 $2$ 时我们得到更精确的结果。最后我们通过一个反例表明关于 $g$ 的阶的假设是必要的。在附录中，我们解释了我们的结果如何与 Cassels 关于 Tate-Shafarevich 群的整除性问题相关联，该问题由 Ciperani 和 Stix 研究过。