初等 $p$-群中破坏算术级数的置换

给定一个阿贝尔群 $G$，自然要问是否存在 $G$ 的一个置换 $\pi$ 能“破坏”所有非平凡三项算术级数（APs），即对于满足 $b-a = c-b \neq 0$ 的每个有序三元组 $(a,b,c) \in G^3$，有 $\pi(b) - \pi(a) \neq \pi(c) - \pi(b)$。Hegarty 解决了无限群 $G$ 的这个问题，他证明 $G$ 存在 AP-破坏置换当且仅当 $G/\Omega_2(G)$ 与 $G$ 有相同的基数，其中 $\Omega_2(G)$ 表示 $G$ 中所有阶整除 $2$ 的元素组成的子群。然而，当 $G$ 为有限群时，目前仅得到部分结果。Hegarty 猜想若 $G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 且对所有 $n \neq 2,3,5,7$，则 $G$ 存在 AP-破坏置换，并且他与 Martinsson 一起证明了对于所有 $n > 1.4 \times 10^{14}$ 的猜想。在本文中，我们证明若 $p$ 为素数且 $k$ 为正整数，则初等 $p$-群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^k$ 存在 AP-破坏置换当且仅当 $p$ 为奇数且 $(p,k) \not\in \{(3,1),(5,1), (7,1)\}$。