按 major index 同余类计数排列

考虑 n 个字母上的对称群 $S_n$，并令 maj $\pi$ 表示 $S_n$ 中排列 $\pi$ 的 major index。给定正整数 $k,l$ 与非负整数 $i,j$，定义 $m_n^{k,l}(i,j) :=$ 满足 maj $\pi = i \pmod k$ 且 maj $\pi^{-1} = j \pmod l$ 的 $\pi \in S_n$ 的个数。我们通过双射证明：若 $k,l$ 互素且不超过 $n$，则 $m_n^{k,l}(i,j) = n!/(kl)$，令人惊讶的是，它与 $i,j$ 无关。等价地，若将 $m_n^{k,l}(i,j)$ 视为矩阵 $m_n^{k,l}$ 的 $(i,j)$ 项，则在该条件下此为一常数矩阵。我们将此双射推广以证明更一般的结果：对 $d \ge 1$ 且 $k,l$ 互素，矩阵 $m_n^{kd,ld}$ 允许一种分块分解，其中每块均为矩阵 $m_n^{d,d}/(kl)$。我们还给出了 $m_n^{n,n}$ 的显式公式，并证明若 $p$ 为素数，则 $m_{np}^{p,p}$ 具有简单的分块分解。为证明这些结果，我们运用了对称群的表示论与某些受限 shuffles。