峰多项式的系数与根

给定一个排列 $\pi=\pi_1\pi_2\cdots \pi_n \in \mathfrak{S}_n$，如果 $\pi_{i-1} < \pi_i > \pi_{i+1}$，则称索引 $i$ 为一个峰。令 $P(\pi)$ 表示 $\pi$ 的峰集。给定任意正整数集 $S$，定义 ${\mathcal{P}_S(n)=\{\pi\in \mathfrak{S}_n:P(\pi)=S\}}$。Billey-Burdzy-Sagan 证明了对于所有固定的正整数子集 $S$ 和足够大的 $n$，有 $|\mathcal{P}_S(n)|=p_S(n)2^{n-|S|-1}$，其中 $p_S(x)$ 是依赖于 $S$ 的某个多项式。他们猜想，$p_S(x)$ 在以 $\max(S)$ 为中心的二项式系数基下展开的系数均为正数。我们证明这是更强猜想的一个推论，该更强猜想限制了 $p_S(x)$ 根的模。此外，我们给出了以 $0$ 为中心的二项式基下峰多项式的高效显式公式，并利用该公式识别出峰多项式的许多整数根以及某些不等式和恒等式。