Ewens抽样分布下具有或不具有指定不动点数的随机排列中的逆序数

在论文的第一部分，我们研究了在$S_n$上的Ewens抽样分布族$(\mathbb{P}_\theta^{(n)})_{\theta \ge 0}$下随机排列的逆序统计量。我们得到了$\mathbb{P}_\theta^{(n)}$下逆序数期望的一个相当简单的精确公式。特别地，我们证明了对任意$n$，该逆序数期望随倾斜参数$\theta$递减，且仅当$n \not \in \{3,4\}$时关于$\theta$是凸的。此外，我们推导了特定索引对$(i,j) \in \{1,\dots,n\}^2$是逆序的概率的精确公式，并证明该概率当且仅当$|j-i| \ge 2$时随$\theta$递减。我们还展示了这些量在$n \to \infty$和$\theta \to \infty$时的渐近行为。在论文的第二部分，我们分析了在条件于具有指定不动点数的$(\mathbb{P}_\theta^{(n)})_{\theta > 0}$下随机排列的逆序统计量。我们再次得到了逆序数期望和特定索引对是逆序的概率的精确公式。由于预期这些公式相当复杂，我们重点关注这些量在$n \to \infty$、$\theta \to \infty$和$\theta \to 0$时的渐近行为。