分布偏置与分布偏移排列的反转统计量同几何分布与 GEM 分布的比较

对于正整数上的分布 $p:=\{p_k\}_{k=1}^\infty$，有两种自然的方法从 $p$ 的独立同分布样本中构造 $S_n$ 或 $\mathbb{N}$ 上的随机排列——即 $p$-偏置构造与 $p$-偏移构造。首先考虑 $p$ 为参数 $1-q\in(0,1)$ 的几何分布的情形。此时，$p$-偏移随机排列具有参数 $q$ 的 Mallows 分布。令 $P_n^{b;\text{Geo}(1-q)}$ 与 $P_n^{s;\text{Geo}(1-q)}$ 分别表示 $S_n$ 上的偏置与偏移分布。在 $P_n^{s;\text{Geo}(1-q)}$ 下排列的反转期望数大于在 $P_n^{b;\text{Geo}(1-q)}$ 下的情形，且在两者任一之下，排列的反转数往往远少于其在均匀分布下会具有的反转数。对固定的 $n$，当 $q\to1$ 时 $P_n^{b;\text{Geo}(1-q)}$ 与 $P_n^{s;\text{Geo}(1-q)}$ 均弱收敛到 $S_n$ 上的均匀分布。我们通过研究在不同 $q_n\to1$ 收敛速率下 $P_n^{b;\text{Geo}(q_n)}$ 与 $P_n^{s;\text{Geo}(q_n)}$ 的反转统计量来比较偏置与偏移分布。接着我们考虑当分布 $p$ 本身随机且服从 GEM$(\theta)$ 分布时 $p$-偏置与 $p$-偏移排列。在 GEM$(\theta)$-偏置与 GEM$(\theta)$-偏移两种情形下，反转期望数的渐近行为如同在 Geo$(1-q)$-偏移分布下、且 $\theta=\frac q{1-q}$ 时一样。因此，可将 GEM$(\theta)$-偏移情形视为 Geo$(q)$-偏移情形的随机对应。我们还考虑了另一种具有随机 $p$ 的 $p$-偏置分布，其反转期望数的渐近行为如同在上述 $\theta$ 与 $q$ 关系下、且 $\theta\to\infty$ 与 $q\to1$ 时的 Geo$(1-q)$-偏置情形。