几何(p)偏倚排列中的块大小

固定正整数上的一个概率分布 $\mathbf p = (p_1, p_2, \cdots)$。$\mathbf p$-偏倚排列中的第一个块可以借助雨滴来可视化，雨滴以概率 $p_j$ 落在每个正整数 $j$ 上。第一个块是第一个点 $K$，使得 $[1,K]$ 中的所有位置都是湿的，而 $(K,\infty)$ 中的所有位置都是干的。对于几何分布 $p_j= p(1-p)^{j-1}$，我们证明当 $p$ 趋于 0 时，$p \log K$ 依概率收敛到一个显式常数。此外，我们证明如果 $\mathbf p$ 具有拉伸指数分布，则 $K$ 以正概率为无穷大。