球面上随机填充的角度分布

本文研究了当点数 $n \to \infty$ 而维数 $p$ 固定或随 $n$ 增长时，$\mathbb{R}^p$ 中 $n$ 个随机均匀分布的单位向量之间成对角度的渐近行为。针对这两种情形，我们推导了随机角度的极限经验分布以及极值角度的极限分布。结果揭示了两种情形下的有趣差异，并对“所有高维随机向量几乎总是彼此近乎正交”这一普遍观点提供了精确刻画。此外，还讨论了其在统计学和机器学习中的应用，以及与物理学和数学中一些开放问题的联系。