排列网格类的增长率、图上的游走与谱半径

单调排列网格类在帮助确定经典排列模式类的结构与计数性质方面已被证明非常有效。与网格类 $\mathrm{Grid}(M)$ 关联的是一个图 $G(M)$，称为其“行列”图。我们证明 $\mathrm{Grid}(M)$ 的指数增长率等于 $G(M)$ 的谱半径的平方。据此，我们利用谱图论结果刻画了所有缓慢增长的网格类，并证明对每个 $\gamma\geqslant2+\sqrt{5}$，存在一个增长率任意接近 $\gamma$ 的网格类。为证明主要结果，我们建立了图上某些游走族大小的界。在此过程中，我们证明了连通图上偶数长度游走族的增长率与图上“平衡”游走族（其中每条边在一个方向被遍历的次数与在另一方向被遍历的次数相同）的增长率相同。