用群表示方法研究增益图的平衡性

我们通过考察 $G$-增益图的邻接矩阵及其谱来研究 $G$-增益图的平衡性，其中 $G$ 为任意群。作为第一步，我们用增益图在 $M_n(\mathbb C G)$ 中的邻接矩阵刻画其切换等价与平衡性。随后，通过将Fourier变换理论从群代数 $\mathbb C G$ 推广到代数 $M_n(\mathbb C G)$，我们引入与增益图及群表示相关联的表示邻接矩阵。我们证明：增益图是平衡的，当且仅当与 $G$ 的任意（或等价地所有）忠实酉表示相关联的表示邻接矩阵的谱与底层图的谱一致，且其重数由表示的次数给出。我们说明单位增益图的复邻接矩阵与覆盖图的邻接矩阵确为上述构造的特例。这使我们能够重新得到一些经典结果，并证明关于这些图的平衡性在谱、指标或结构方面的一些新刻画。