分层限制与切比雪夫多项式

若一个排列由若干互不相交的子串（层）组成，使得每层内元素递减、层间元素递增，则称其为分层的。我们求得在 $n$ 个字母上避开 $(1,2,3)$ 与一个有 $k$ 个字母的分层排列的排列数的生成函数。在最具趣味的双层情形中，该生成函数仅依赖于 $k$，并通过第二类切比雪夫多项式表达。