估计两个多项式取值的最大公因数

设 $p$ 为固定素数，并令 $v(a)$ 表示整数 $a$ 的素因数分解中 $p$ 的指数。设 $f$ 与 $g$ 为两个首一整系数多项式且结式 $r$ 非零。记 $S$ 为对所有整数 $n$ 的 $v(\gcd (f(n), g(n)))$ 的最大值。已知 $S \le v(r)$。对于给定的幂 $p^s$ 整除所有 $n$ 下的 $f(n)$ 与 $g(n)$ 的情形，我们给出 $v(r)-S$ 最小可能值的各种下界与上界。特别地，当 $s\le p$ 时最小可能值为 $ps^2-s$，而对大 $s$ 渐近为 $(p-1)s^2$。