估计结式的 p 进赋值

设 $f$ 和 $g$ 为两个具有整数系数且结式 $r$ 非零的首一多项式。假设对于某个固定的非负整数 $s_1, s_2$，对所有整数 $n$ 均有 $v_p(f(n))\ge s_1$ 和 $v_p(g(n))\ge s_2$。令 $S$ 表示对所有整数 $n$ 的 $v_p(gcd(f(n),g(n)))$ 的最大值。本文建立了 $v_p(r)$ 的多个下界。更具体地，我们证明 $v_p(r)\ge S-\max{s_1,s_2}+ps_1s_2\frac{p-1}{p-p^{-k}}$，其中 $k=\lfloor \log_p((p-1)\max\{s_1,s_2\}+1)\rfloor -1$。