关于 $grad f(x,y)$ 的指数

设 $f(x,y)$ 为一个次数为 $d$ 的实多项式，其临界点为孤立点，设 $i$ 为 $grad f$ 在包含所有临界点的大圆周上的指数。一个初等论证表明 $|i| \leq d-1$。本文我们证明 $i \leq max \{1, d-3 \}$。我们还证明若 $f$ 的所有水平集都紧致，则 $i = 1$，否则 $|i| \leq \dr -1$，其中 $\dr$ 为 $f$ 最高次项中实线性因子乘积的次数。证明技术涉及从无穷处计算 $i$。指数 $i$ 被分解为对应于实线无穷处的点 $p$ 和 $f$ 的极限值 $c \in \realinf$ 的分量 $i_{p,c}$。 $i_{p,c}$ 以三种方式计算：几何地、从 $f(x,y)$ 的解析度中，以及从 $f(x,y)$ 的 Morsification 中。 $i_{p,c}$ 也为 $f(x,y)$ 在点 $p$ 处和值 $c$ 处的消失环（vanishing cycles）的个数提供了下界。