一阶代数常微分方程的有理解

设 $f(t,y,y')=\sum_{i=0}^n a_i(t,y)y'^i=0$ 为一个具有多项式系数的不可约一阶常微分方程。Eremenko 于 1998 年证明存在常数 $C$，使得 $f(t,y,y')=0$ 的每一个有理解的次数均不大于 $C$。例子表明，此次数界 $C$ 不仅依赖于 $f$ 在 $t,y,y'$ 中的次数，还依赖于视作 $t,y,y'$ 中多项式的 $f$ 的系数。在本文中，我们证明若 $f$ 满足 $deg(f,y)<deg(f,y')$ 或 $\max_{i=0}^n \{deg(a_i,y)-2(n-i)\}>0$，则次数界 $C$ 仅依赖于 $f$ 在 $t,y,y'$ 中的次数，并且进一步我们给出了 $C$ 关于 $f$ 在 $t,y,y'$ 中次数的显式表达式。