一类二阶线性微分方程多项式解的判断准则

我们考虑微分方程 y''=\lambda_0(x)y'+s_0(x)y，其中 \lambda_0(x)、s_0(x) 为 C^{\infty} 函数。我们证明 (i) 若该微分方程具有 n>0 次的多项式解，则 \delta_n=\lambda_n s_{n-1}-\lambda_{n-1}s_n=0，其中 \lambda_{n}= \lambda_{n-1}^\prime+s_{n-1}+\lambda_0\lambda_{n-1}\hbox{且}\quad s_{n}=s_{n-1}^\prime+s_0\lambda_{k-1},\quad n=1,2,...。反之 (ii) 若 \lambda_n\lambda_{n-1}\ne 0 且 \delta_n=0，则该微分方程具有次数至多为 n 的多项式解。我们表明 Laguerre、Hermite、Legendre、Jacobi、Chebyshev（第一类与第二类）、Gegenbauer 以及超几何型等经典微分方程均满足此准则。此外，我们求得广义 Hermite、Laguerre、Legendre 与 Chebyshev 微分方程的多项式解。