二阶微分方程的精确多项式解及其应用

我们找出所有多项式 $Z(z)$，使得微分方程 $${X(z)\frac{d^2}{dz^2}+Y(z)\frac{d}{dz}+Z(z)}S(z)=0,$$ 其中 $X(z), Y(z), Z(z)$ 分别是次数至多为 4、3、2 的多项式，具有次数为 $n$ 且根 $z_i$ 互不相同的多项式解 $S(z)=\prod_{i=1}^n(z-z_i)$。我们推导出一组确定这些根的 $n$ 个代数方程。我们还找出当 $X(z)$ 和 $Y(z)$ 的系数代数相关时，使该微分方程具有多项式解的所有多项式 $Z(z)$。作为我们一般结果的应用，我们得到了描述以下情形的薛定谔型微分方程的精确（闭式）解：1) 球面上两个库仑排斥的电子；2) $\phi^6$ 型场论扭结稳定性分析的薛定谔方程；3) 非极端 Reissner-Nordström 解的静态微扰；4) 库仑场与磁场中的平面狄拉克电子；以及 5) O(N) 不变的十次非谐振子。