正交多项式零点的静电学解释

我们研究微分方程 $- (p(x) y')' + q(x) y' = \lambda y,$ 其中 $p(x)$ 为次数至多为2的多项式，$q(x)$ 为次数至多为1的多项式。这包括经典的Jacobi多项式、Hermite多项式、Legendre多项式、Chebychev多项式与Laguerre多项式。我们给出此类多项式零点的一个一般静电学解释：实数集 $\left\{x_1, \dots, x_n\right\}$ 满足 $$p(x_i) \sum_{k = 1 \atop k \neq i}^{n}{\frac{2}{x_k - x_i}} = q(x_i) - p'(x_i) \qquad \mbox{for all}~ 1\leq i \leq n$$ 当且仅当它们是求解该微分方程的多项式的零点。我们还推导了一个依赖于 $p(x),q(x)$ 的ODE系统，其解以指数速率收敛至该正交多项式的零点。