多胞形的过剩度

我们将 $d$-多胞形 $P$ 的过剩度 $\xi(P)$ 定义为 $2f_1-df_0$，其中 $f_0$ 和 $f_1$ 分别表示顶点数和边数。该参数衡量了 $P$ 偏离简单多胞形的程度。结果表明，$d$-多胞形的过剩度并不能取遍所有自然数：其可能的最小值为 $0$ 和 $d-2$，而值 $d-1$ 仅在 $d=3$ 或 $5$ 时出现。另一方面，对于固定的 $d$，若 $d$ 为奇数，则过剩度未取到的值的个数是有限的；若 $d$ 为偶数，则过剩度未取到的偶数值的个数是有限的。随后，过剩度被应用于三种不同的情形。首先，利用它证明了具有小过剩度（即 $\xi(P)<d$）的多胞形具有非常特殊的结构：在 $d\ne5$ 的前提下，要么存在唯一的非简单顶点，要么每个非简单顶点的度均为 $d+1$。这蕴含了此类多胞形在 Minkowski 可分解性方面的行为与简单多胞形类似：它们要么是可分解的，要么是锥形的，并且其对偶总是不可分解的。其次，我们完全刻画了具有 $2d+1$ 个顶点的可分解 $d$-多胞形（至多相差组合等价）。第三，确定了所有存在具有 $f_0$ 个顶点和 $f_1$ 条边的 5-多胞形的数对 $(f_0,f_1)$。